Законы распределения непрерывных случайных величин

Законы распределения непрерывных случайных величин

Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.

Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p_i для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:

Математическое ожидание
мат.ожидание

. Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке (a, b), равняется середине этого отрезка.

Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример 4. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами

(обозначают

), если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении

кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при

и при

). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при

;

). Таким образом, параметр

характеризует положение, а параметр

- форму кривой плотности вероятности.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами

(обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:

Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 1).

- функция нечетная!

116

Рис. 3. Функция Лапласа Ф(t)

Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле:

Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

1. Если

, то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х₁;х₂) используется формула:

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины

от ее математического ожидания

не превысит величину

(по абсолютной величине), равна:

3. "Правило трех сигм". Если случайная величина

, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (

). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры (

), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.

Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами

. Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

Пример 6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами

. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.

Вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм:

Вероятность того, что эта погрешность измерения в одном испытании превышает 3 мм, равна:

Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм:

Функция НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

x — значение, для которого строится распределение.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

· Если аргумент «среднее» или «стандартное_откл» не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

· Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

· Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.

Функция НОРМСТРАСП

Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Данная функция используется вместо таблицы площадей стандартной нормальной кривой.

Z — значение, для которого строится распределение.

· Если z не является числом, функция НОРМСТРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

Функция НОРМОБР

Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.

НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)

Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

· Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если вероятность < 0 или вероятность > 1, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, функция НОРМОБР использует стандартное нормальное распределение (см. НОРМСТОБР).

Если задано значение вероятности, функция НОРМОБР ищет значение x, для которого функция НОРМРАСП(x, среднее, стандартное_откл, ИСТИНА) = вероятность. Однако точность функции НОРМОБР зависит от точности НОРМРАСП. В функции НОРМОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.


	Информатика студентам