Законы распределения непрерывных случайных величин

Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.

Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

.

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p_i  для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:

.

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:

	Функция плотности  вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.1. Равномерный закон распределения

Математическое ожидание 
. Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке  (a, b), равняется середине этого отрезка.

         Дисперсия:

Величина    называется поправкой  Шеппарда.

 

Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

 

Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

 

Пример 4. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.

    

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами  и (обозначают ), если ее плотность вероятности имеет вид:

, где , .
	Функция плотности  вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.2. Нормальный закон распределения

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении  кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при  и при ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при : ; ; ). Таким образом, параметр  характеризует положение, а параметр - форму кривой плотности вероятности.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами  и  (обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:

,   где .

Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 1).

Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле:

,   где .

Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

1.     Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х₁;х₂) используется формула:

.

2.     Вероятность того, что отклонение случайной величины  от ее математического ожидания  не превысит величину  (по абсолютной величине), равна:

.

3.     "Правило трех сигм". Если случайная величина , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры ( и ), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.

Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

.

Пример 6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами , . Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.

Вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм:

.

Вероятность того, что эта погрешность измерения в одном испытании превышает 3 мм, равна:

.

Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм:

            .

Искомая вероятность:   .

Функция НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

Синтаксис

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

x — значение, для которого строится распределение.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

Замечания

·        Если аргумент «среднее» или «стандартное_откл» не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

·        Если стандартное_откл ≤ 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

·        Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

·        Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.

Функция НОРМСТРАСП

Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Данная функция используется вместо таблицы площадей стандартной нормальной кривой.

Синтаксис

НОРМСТРАСП(z)

Z — значение, для которого строится распределение.

Замечания

·        Если z не является числом, функция НОРМСТРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

·        Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

Функция НОРМОБР

Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.

Синтаксис

НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)

Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

Замечания

·        Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

·        Если вероятность < 0 или вероятность > 1, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если стандартное_откл ≤ 0, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, функция НОРМОБР использует стандартное нормальное распределение (см. НОРМСТОБР).

Если задано значение вероятности, функция НОРМОБР ищет значение x, для которого функция НОРМРАСП(x, среднее, стандартное_откл, ИСТИНА) = вероятность. Однако точность функции НОРМОБР зависит от точности НОРМРАСП. В функции НОРМОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.