Законы распределения дискретных случайных величин

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения.

При табличном способе задания закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а вторая – соответствующие вероятности ( ):

Бернулли: Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения (закон распределения Бернулли), если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m, …, n  с  вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

где q=1-p;   - число сочетаний из n элементов по m.

Пример 2. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают предусмотренный правилами скоростной режим. Составить закон распределения числа водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших.

Случайная величина Х – число водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости из пяти проехавших. В n=5 независимых испытаниях вероятность того, что скоростной режим не нарушен, по условию постоянна и равна: p=0,6. Следовательно, вероятность нарушения: q=1-0,6=0,4. Тогда биномиальный закон распределения числа водителей имеет вид:

Пуассона: Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m, … с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона. Т. к. вероятность наступления события в каждом испытании мала (при ), закон распределения Пуассона еще называют законом редких событий.

Пример 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,015. Сделано 600 выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель не меньше 7 и не большее 10?

В данном случае . Предполагая закон распределения Пуассона, имеем:

Следовательно, .

Гипергеометрическое: Говорят, что случайная величина  имеет гипергеометрическое распределение с параметрами ,  и , где , , если   принимает целые значения  такие, что , , с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди  шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей  белых шаров и  не белых.

Пример 4. В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначимx. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:

, k = 0, 1, …, min(n,M), ,

, .

Функция ГИПЕРГЕОМЕТ

Возвращает гипергеометрическое распределение. Значение, возвращаемое функцией ГИПЕРГЕОМЕТ, — это вероятность заданного количества успехов в выборке, если заданы размер выборки, количество успехов в генеральной совокупности и размер генеральной совокупности. Функция ГИПЕРГЕОМЕТ используется для задач с конечной генеральной совокупностью, где каждое наблюдение — успех или неудача, а каждое из подмножеств заданного размера выбирается с равной вероятностью.

Синтаксис

ГИПЕРГЕОМЕТ(число_успехов_в_выборке;размер_выборки;число_успехов_в_совокупности;размер_совокупности)

Число_успехов_в_выборке — количество успешных испытаний в выборке.

Размер_выборки — размер выборки.

Число_успехов_в_совокупности — количество успешных испытаний в генеральной совокупности.

Размер_совокупности — размер генеральной совокупности.

Замечания

·        Все аргументы усекаются до целых.

·        Если какой-либо из аргументов не является числом, функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

·        Если значение аргумента «число_успехов_в_выборке» < 0 или «число_успехов_в_выборке» больше, чем меньшее из значений аргументов «размер_выборки» и «число_успехов_в_совокупности», функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если значение аргумента «число_успехов_в_выборке» меньше, чем большее из значений 0 и («размер_выборки» - «размер_совокупности» + «число_успехов_в_совокупности»), функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если значение аргумента «размер_выборки» ≤ 0 или «размер_выборки» > «размер_совокупности», функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если значение аргумента «число_успехов_в_совокупности» ≤ 0 или «число_успехов_в_совокупности» > «размер_совокупности», то функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Если значение аргумента «размер_совокупности» ≤ 0, функция ГИПЕРГЕОМЕТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

·        Уравнение для гипергеометрического распределения имеет следующий вид:

где

x — число_успехов_в_выборке

n — размер_выборки

M — число_успехов_в_совокупности

N — размер_совокупности

Функция ГИПЕРГЕОМЕТ используется для выборок без замещения из конечной генеральной совокупности.